Ejercicios de cadenas de
Markov.
16.2-1.Suponga que la probabilidad de lluvia
mañana es de 0.5 si hoy llueve y que la probabilidad de un día claro (sin
lluvia) mañana es de 0.9 si hoy está despejado. Suponga además que estas
probabilidades no cambian si también se proporciona información sobre el clima
de días anteriores a hoy.
a) Explique por qué los supuestos establecidos implican que
la propiedad markoviana se cumple para la evolución del clima.
b) Formule la evolución del clima como una cadena de Markov
mediante la definición de sus estados y la construcción de su matriz de
transición (de un paso).
16.3-2.Suponga que una red de comunicaciones
transmite dígitos binarios, 0 o 1, y que cada dígito se transmite 10 veces
sucesivas. Durante cada transmisión, la probabilidad de que ese dígito se
transmita correctamente es de 0.99. En otras palabras, se tiene una
probabilidad de 0.01 de que el dígito transmitido se registre con el valor
opuesto al final de la transmisión. Para cada transmisión después de la
primera, el dígito transmitido es el que se registra al final de la transmisión
anterior. Si X0 denota el dígito binario que entra al sistema, X1 el dígito
binario que se apunta después de la primera transmisión, X2 el dígito binario
que se anota después de la según da transmisión, …, entonces {Xn} es una cadena
de Markov.
a) Determine la matriz de transición (de un paso).
16.6-1.Una computadora se inspecciona cada
hora. Se encuentra que está trabajando o descompuesta. En el primer paso, la
probabilidad de que siga así la siguiente hora es 0.90. Si está descompuesta,
se repara, lo que puede llevar más de 1 hora. Siempre que la computadora esté descompuesta
(sin importar cuánto tiempo pase), la probabilidad de que siga descompuesta 1
hora más es 0.35.
a) Construya la matriz de transición de un paso de esta
cadena de Markov.
16.6-2.Un fabricante tiene una máquina que
cuando está operando al comenzar el día tiene una probabilidad de 0.1 de
descomponerse en algún momento de ese día. Cuando esto ocurre, la reparación se
hace al siguiente día y se termina al finalizar ese día.
a) Formule la evolución del estado de la máquina como una
cadena de Markov; identifique los tres estados posibles al final del día y
después construya la matriz de transición (de un paso).